Resolução Exercício Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages (Capítulo 25 - 9)

Se $A = (1, 2, 3)$, $B = (3,-1, 4)$, $C = (2, 3,-1)$ e $D = (3, 1, 3)$, mostre que as retas AB e CD são reversas.

     A reta $r$ que passa pelos pontos $A$ e $B$ tem equações paramétricas:

     $\left\{\begin{array}{l}x=2t+1\\y=-3t+2\\z=t+3\end{array}\right.$

    A reta $s$ que passa pelos pontos $C$ e $D$ tem equações paramétricas:

     $\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\y=-2t+3 \\z=4t-1\end{array}\right.$

    Portanto possui os seguintes vetores diretores: $\vec{u_r}=(2,-3,1)$ e $\vec{u_s}=(1,-2,4)$

    O vetor diferença $\vec{C}-\vec{A}=\vec{v}=(1,1,-4)$ (um ponto de cada reta).

    As retas serão reversas caso os três vetores não forem coplanares e para que isso ocorra, o produto misto entre eles deve ser diferente de zero, portanto:

    $$\left|\begin{array}{ccc}        2 & -3 & 1 \\        1 & -2 & 4 \\        1 & 1 & -4    \end{array}\right|=1\neq 0$$

    Portanto as retas são reversas.