Complete os quadrados e decida para quais valores de $k$ a equação $x^2 + y^2 +z^2 + x + 2y + 3z + k = 0$ define um ponto, uma esfera ou o conjunto vazio.
Solução:
Completando os quadrados, obtemos: $x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2+2y+1+z^2+3z+\dfrac{9}{4}=-k+\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{9}{4}$
A equação reduzida da esfera fica:
$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+\frac{3}{2}\right)^2=-k+\frac{7}{2}$$
Portanto o raio será:
$$R=\sqrt{-k+\frac{7}{2}}$$
Para ser uma Esfera: $$-k+\frac{7}{2}>0\Rightarrow k<\frac{7}{2}$$
Para ser um Ponto: $$-k+\frac{7}{2}=0\Rightarrow k=\frac{7}{2}$$
Para ser Conjunto Vazio: $$-k+\frac{7}{2}<0\Rightarrow k>\frac{7}{2}$$
Comentários
Postar um comentário