Resolução Exercício Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages (Capítulo 25 - 6)

Dados $A = (1, 2, 3)$ e $B = (4, 5, 6)$, determine os pontos em que a reta $AB$ corta os planos $\prod_{xy}$, $\prod_{xz}$ e $\prod_{yz}$.

Solução:

    As Equações paramétricas serão:

    $\left\{\begin{array}{c}     x=t(x_B-x_A)+x_A \\     y=t(y_B-y_A)+y_A \\     z=t(z_B-z_A)+z_A    \end{array}\right.$ 

    Portanto:

    $\left\{\begin{array}{c}     x=t(4-1)+1 \\     y=t(5-2)+2 \\     z=t(6-3)+3    \end{array}\right.=$    $\left\{\begin{array}{c}     x=3t+1 \\     y=3t+2 \\     z=3t+3    \end{array}\right.$

 No plano $\prod_{xy}$ temos que $z=0$, logo:    $$3t+3=0\Rightarrow =-1$$

    O ponto será:    $\left\{\begin{array}{c}     x=3\cdot (-1)+1 \\     y=3\cdot (-1)+2 \\     z=3\cdot (-1)+3    \end{array}\right.\Rightarrow P_{xy}=(-2,-1,0)$  

No plano $\prod_{xz}$ temos que $y=0$, logo:    $$3t+2=0\Rightarrow t=-\dfrac{2}{3}$$

    O ponto será:    $\left\{\begin{array}{c}     x=3\cdot (-\frac{2}{3})+1 \\     y=3\cdot (-\frac{2}{3})+2 \\     z=3\cdot (-\frac{2}{3})+3    \end{array}\right.\Rightarrow P_{xz}=(-1,0,1)$

No plano $\prod_{yz}$ temos que $x=0$, logo:    $$3t+1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{3}$$

    O ponto será:    $\left\{\begin{array}{c}     x=3\cdot (-\frac{1}{3})+1 \\     y=3\cdot (-\frac{1}{3})+2 \\     z=3\cdot (-\frac{1}{3})+3    \end{array}\right.\Rightarrow P_{yz}=(0,1,2)$