Resolução Exercício Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages (Capítulo 25 - 7)

Sejam $A = (3, 5, 2)$ e $B = (-1,-1, 4)$, $C = (2, 1, 5)$ e $D = (0, 3, 1)$. Mostre que as retas $AB$ e $CD$ têm um ponto em comum e determine este ponto $P$. Decida se $P$ pertence a um dos segmentos de reta $AB$ e $CD$

    

    A reta $AB$ tem equações paramétricas:

    $\left\{\begin{array}{c}     x=-4t+3 \\     y=-6t+5 \\     z=2t+2    \end{array}\right.$

     A reta $CD$ tem equações paramétricas:

    $\left\{\begin{array}{c}     x=-2t+2 \\     y=2t+1 \\     z=-4t+5    \end{array}\right.$

    Para encontrarmos o Ponto $P$ em comum, devemos igualar as coordenadas $x$, $y$ e $z$ e encontrar o mesmo parâmetro $t$:

    $$-4t+3=-2t+2\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$$

    $$-6t+5=2t+1\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$$

    $$2t+2=-4t+5\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$$

    Então:

    $P_{AB}=\left\{\begin{array}{c}     x=-4\cdot \frac{1}{2}+3 \\     y=-6\cdot \frac{1}{2}+5 \\     z=2\cdot \frac{1}{2}+2    \end{array}\right.=\left\{\begin{array}{c}     x=1 \\     y=2 \\     z=3    \end{array}\right.\Rightarrow P_{AB}=(1,2,3)$ e

    $P_{CD}=\left\{\begin{array}{c}     x=-2\cdot \frac{1}{2}+2 \\     y=2\cdot \frac{1}{2}+1 \\     z=-4\cdot \frac{1}{2}+5    \end{array}\right.=\left\{\begin{array}{c}     x=1 \\     y=2 \\     z=3    \end{array}\right.\Rightarrow P_{CD}=(1,2,3)$

    $$P_{AB}=P_{CD}=P=(1,2,3)$$