Físico Amigo

 Dados $A = (3, 5, 2)$ e $B = (-1,-1, 4)$ escreva equações paramétricas para a reta paralela a AB passando pelo ponto $C = (2, 1, 5)$. Solução:     A reta $AB$ tem equações paramétricas:     $\left\{\begin{array}{c}     x=-4t+3 \\     y=-6t+5 \\     z=2t+2    \end{array}\right.$  Na forma matricial:  $\left[\begin{array}{c}    x \\    y \\    z    \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}    -4\\    -6\\    2    \end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}    3 \\    5 \\    2    \end{array}\right]$     Então a reta é paralela ao vetor $\vec{u}=(-4,-6,2)$, Portanto a reta paralela a $AB$ e que passa por $C=(2,1,5)$ é (na forma matricial):     $\left[\begin{array}{c}    x \\    y \\    z    \end{array}\right]=\left[\begin{ar...

Sejam $A = (3, 5, 2)$ e $B = (-1,-1, 4)$, $C = (2, 1, 5)$ e $D = (0, 3, 1)$. Mostre que as retas $AB$ e $CD$ têm um ponto em comum e determine este ponto $P$. Decida se $P$ pertence a um dos segmentos de reta $AB$ e $CD$          A reta $AB$ tem equações paramétricas:     $\left\{\begin{array}{c}     x=-4t+3 \\     y=-6t+5 \\     z=2t+2    \end{array}\right.$      A reta $CD$ tem equações paramétricas:     $\left\{\begin{array}{c}     x=-2t+2 \\     y=2t+1 \\     z=-4t+5    \end{array}\right.$     Para encontrarmos o Ponto $P$ em comum, devemos igualar as coordenadas $x$, $y$ e $z$ e encontrar o mesmo parâmetro $t$:     $$-4t+3=-2t+2\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$$     $$-6t+5=2t+1\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$$     $$2t+2=-4t+5\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$$     Então:   ...

Dados $A = (1, 2, 3)$ e $B = (4, 5, 6)$, determine os pontos em que a reta $AB$ corta os planos $\prod_{xy}$, $\prod_{xz}$ e $\prod_{yz}$. Solução:     As Equações paramétricas serão:     $\left\{\begin{array}{c}     x=t(x_B-x_A)+x_A \\     y=t(y_B-y_A)+y_A \\     z=t(z_B-z_A)+z_A    \end{array}\right.$      Portanto:     $\left\{\begin{array}{c}     x=t(4-1)+1 \\     y=t(5-2)+2 \\     z=t(6-3)+3    \end{array}\right.=$    $\left\{\begin{array}{c}     x=3t+1 \\     y=3t+2 \\     z=3t+3    \end{array}\right.$   No plano $\prod_{xy}$ temos que $z=0$, logo:    $$3t+3=0\Rightarrow =-1$$     O ponto será:    $\left\{\begin{array}{c}     x=3\cdot (-1)+1 \\     y=3\cdot (-1)+2 \\     z=3\cdot (-1)+...

Se $A = (1, 2, 3)$, $B = (3,-1, 4)$, $C = (2, 3,-1)$ e $D = (3, 1, 3)$, mostre que as retas AB e CD são reversas.      A reta $r$ que passa pelos pontos $A$ e $B$ tem equações paramétricas:      $\left\{\begin{array}{l}x=2t+1\\y=-3t+2\\z=t+3\end{array}\right.$     A reta $s$ que passa pelos pontos $C$ e $D$ tem equações paramétricas:      $\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\y=-2t+3 \\z=4t-1\end{array}\right.$     Portanto possui os seguintes vetores diretores: $\vec{u_r}=(2,-3,1)$ e $\vec{u_s}=(1,-2,4)$     O vetor diferença $\vec{C}-\vec{A}=\vec{v}=(1,1,-4)$ (um ponto de cada reta).     As retas serão reversas caso os três vetores não forem coplanares e para que isso ocorra, o produto misto entre eles deve ser diferente de zero, portanto:     $$\left|\begin{array}{ccc}        2 & -3 & 1 \\        1 & -2 & 4 \\        1 ...

 Complete os quadrados e decida para quais valores de $k$ a equação $x^2 + y^2 +z^2 + x + 2y + 3z + k = 0$ define um ponto, uma esfera ou o conjunto vazio. Solução:      Completando os quadrados, obtemos: $x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2+2y+1+z^2+3z+\dfrac{9}{4}=-k+\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{9}{4}$  A equação reduzida da esfera fica:     $$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+\frac{3}{2}\right)^2=-k+\frac{7}{2}$$     Portanto o raio será:     $$R=\sqrt{-k+\frac{7}{2}}$$     Para ser uma Esfera : $$-k+\frac{7}{2}>0\Rightarrow k<\frac{7}{2}$$     Para ser um Ponto : $$-k+\frac{7}{2}=0\Rightarrow k=\frac{7}{2}$$     Para ser Conjunto Vazio : $$-k+\frac{7}{2}<0\Rightarrow k>\frac{7}{2}$$     

 Obtenha equações paramétricas para a reta $AB$, onde:   a) $A = (2, 3, 4)$ e $B = (5, 6, 7)$   As Equações paramétricas serão:     $\left\{\begin{array}{l} x=t(x_B-x_A)+x_A \\ y=t(y_B-y_A)+y_A \\ z=t(z_B-z_A)+z_A \end{array}\right.$   Portanto: $\left\{\begin{array}{l} x=t(5-2)+2 \\ y=t(6-3)+3 \\  z=t(7-4)+4 \end{array}\right.$ = $\left\{\begin{array}{l}x=3t+2 \\ y=3t+3 \\ z=3t+4 \end{array}\right.$    b) $A = (-3, 1, 2)$ e $B = (6, 0,-2)$      As Equações paramétricas serão:     $\left\{\begin{array}{l} x=t(x_B-x_A)+x_A \\ y=t(y_B-y_A)+y_A \\ z=t(z_B-z_A)+z_A \end{array}\right.$  Portanto: $\left\{\begin{array}{l} x=t(6-(-3))-3 \\  y=t(0-1)+1 \\   z=t(-2-2)+2 \end{array}\right.=$ $\left\{\begin{array}{l}  x=9t-3 \\ y=-t+1 \\  z=-4t+2 \end{array}\right.$  c) $A = (2, 5, 1)$ e $B = (3, 5, 1)$     As Equações paramétricas serão:  $\left\{\begin{...

Pg. 178. 1-16 Derive. 1. $f(x)=3x^2-2\cos x \Rightarrow f'(x)=6x+2\sin x$ 2. $f(x) = \sqrt{x}\sin{x} \Rightarrow f'(x)=\sqrt{x}\cos x+\sin x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2x\cos (x+\sin x)}{2 \sqrt{x}}$ 3. $f(x) = \sin x + \frac{1}{2} \cot{x} \Rightarrow f'(x)= \cos x -\frac{1}{2} \csc^2x$ 4.  $y = 2\sec{x} - \csc{x} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=2\sec{x}\tan{x} + \csc{x} \cdot \cot{x} $ 5. $g(t)=t^3\cos{t}\Rightarrow g'(t)=-t^3\sin{t}+3t^2\cos{t}=3t^2\cos{t}-t^3\sin{t}$ 6. $g(t)=4\sec{t}+\tan{t}\Rightarrow g'(t)=4\sec{t}\tan{t}+\sec^2t$ 7. $h(\theta)=\csc{\theta}+e^{\theta}\cot{\theta}\Rightarrow h'(\theta)=-\csc{\theta}\cot{\theta}-e^{\theta}\csc^2\theta+e^{\theta}\cot{\theta}$ $=-\csc{\theta}\cot{\theta}+e^{\theta}(\cot{\theta}-\csc^2\theta)$ 8. $y=e^u(\cos{u}+cu)\Rightarrow \dfrac{dy}{du}=e^u(-\sin{u}+u)+(\cos{u}+cu)e^u=e^u(\cos{u}-\sin{u}+cu)$ 9. $y=\dfrac{x}{2-\tan{x}}\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(2-tan{x})\cdot 1+x(\sec^2x)}{(2-\tan{x})^2}=\dfrac{2-\tan{x}...